[转]趣题:从1到4000中各位数字之和能被4整除的有多少个?

趣题:从1到4000中各位数字之和能被4整除的有多少个?

    一个小学奥数老师给我讲了一道小学奥数题,这是他在上课时遇到的:从 1 到 4000 中,各位数字之和能被 4 整除的有多少个?

    注意,问题可能没有你想的那么简单,满足要求的数分布得并没有那么规则。 1 、 2 、 3 、 4 里有一个满足要求的数, 5 、 6 、 7 、 8 里也有一个满足要求的数,但是 9 、 10 、 11 、 12 里就没有了。

    尽管如此,这个问题仍然有一个秒杀解。你能多快想到?


 
    答案就是 1000 。首先, 0 和 4000 都是满足要求的数,因而我们不去看 1 到 4000 中有多少个满足要求的数,转而去看 0 到 3999 中有多少个满足要求的数,这对答案不会有影响。注意到,如果固定了末三位,比如说 618 ,那么在 0618 、 1618 、 2618 、 3618 这四个数中,有且仅有一个数满足,其各位数字之和能被 4 整除。考虑从 000 到 999 这 1000 个可能的末三位组合,每一个组合都唯一地对应了一个满足要求的四位数,因此问题的答案就是 1000 。

    真正有趣的事情在后面呢。一个小朋友举手说:“老师,我明白了,按照这个道理,从 1 到 3000 里各位数字之和能被 3 整除的数也是 1000 个。”另一个小朋友说:“废话,各位数字之和能被 3 整除就表明整个数能被 3 整除,在 1 到 3000 里这样的数当然有 1000 个嘛!”全班哄堂大笑。


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